СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется
число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: а*b=b*а.
2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: (Ла)•b=Л(ab).
3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством: а(b+c)=аb+ас.
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: а2=|а|2.
5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их
скалярное произведение равно нулю
Выражение скалярного произведения через координаты Пусть заданы два вектора

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Угол между векторами

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:
1) перпендикулярен векторам а и b
2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма,
построенного на векторах а и b как на сторонах
3) векторы а, b и с образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается ахb или [а,b].
Из определения векторного произведения непосредственно вытекают
следующие соотношения между ортами i, j и к
ixj=k jхk=i, кхi=j.
Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное
произведение меняет знак, т.е. axb=—(bха)
2. Векторное произведение обладает сочетательным
свойством относительно скалярного множителя
Л(axb)=Л(a)xb=ax(Лb)
3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда,
когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b ахb=0.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
Выражение векторного произведения через координаты

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника
Согласно определению векторного произведения ахb=

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков
векторного и скалярного умножения, т. е. (aхb) • с = а • (bхс).
3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых
двух векторов-сомножителей, т. е. abc = —acb, abc = —bac, abc = —cba.
4. Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю
тогда и только тогда, когда они компланарны.
Выражение смешанного произведения через координаты

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
объем параллелепипеда, построенного на
векторах a, b и с вычисляется как V=|abc|, а объем треугольной пирамиды,
построенной на этих же векторах, равен V=1\6|abc|
Используются технологии uCoz